Schrödinger 方程与波函数

$$ \begin{equation} i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\frac{\hbar^{2}\partial^{2}\Psi}{2m\partial x^{2}}+V\Psi. \end{equation} $$

其中，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$ 是 Planck 常量。

在给定适当的初始条件以后（比如 $\Psi(x,0)$）通过求解 Schrödinger 方程可以得到以后任意时刻的波函数 $\Psi (x,t)$。Born 关于波函数的统计诠释指出 $\left|\Psi(x,t)\right|^{2}$ 是在 $t$ 时刻发现粒子位于 $x$ 处位置的几率大小^[1]，即发现粒子在时刻 $t$ 位于位置 $a$ 和 $b$ 之间的概率为

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b}\left|\Psi(x,t)\right|^{2}\mathrm{d}x. \end{equation} $$

图 1 是一个典型的波函数，且阴影部分的面积是在某一时刻发现粒子位于位置 $a$ 和 $b$ 之间的概率。显然，根据图像，粒子很有可能被发现在 $A$ 点附近而不是 $B$ 点附近。

如果在某一时刻测量，我们发现粒子位于 $C$ 点，那么波函数会立刻塌缩为图 2。